Описание течений многофазных многокомпонентных смесей с фазовыми переходами методом функционала плотности

Приводятся ключевые соотношения без вывода.

1. Многофазные течения газа и жидкости в изотермическом случае.

Динамика определяется уравнениями сохранения химических компонентов смеси и импульса. С использованием тензорных обозначений (индексы i, j, k используется для обозначения номера компонента, индексы a, b соответствуют декартовым координатам, по повторяющимся индексам производится суммирование) они имеют вид:

(1)

(2)

- мольная плотность i - го компонента смеси,

- вектор потока - го компонента,

- среднемассовая скорость смеси,

- массовая плотность,

- молярная масса i–го компонента,

- тензор напряжений в смеси,

- гравитационный потенциал.

Поток -го компонента представляется в виде

,

где, - вектор диффузионного потока i-го компонента.

По определению тензор напряжений складывается из тензора статических напряжений и тензора вязких напряжений :

.

Для тензора вязких напряжений принимается линейно-вязкая модель Навье-Стокса:

(3)

где и - объемная и сдвиговая вязкость соответственно.

В классическом случае модели вязкой жидкости Навье-Стокса для тензора статических напряжений принимается выражение где p - давление в жидкости. В теории функционала плотности этот тензор имеет вид:

(4)

где

- плотность свободной энергии смеси,

- свободная энергия гомогенной смеси на единицу объема при отсутствии гравитации,

- коэффициенты положительной симметричной матрицы,

- обобщенные химические потенциалы компонентов смеси.

Для диффузионных потоков принимаются соотношения, обобщающие закон Фика

(5)

где - симметричная неотрицательная матрица, удовлетворяющая дополнительному условию  .

2. Многофазные изотермические течения с присутствием в смеси твердой фазы

В качестве динамических уравнений по-прежнему используются уравнения (1), (2). Однако в этом случае необходимо дополнительно учитывать упругие напряжения в твердой фазе. Это приводит к модификации тензора статических напряжений (4). Выражения для тензора вязких напряжений (3) и диффузионных потоков (5) сохраняются.

Тензор статических напряжений представляется в виде

,
- свободная энергия твердой фазы на единицу объема,
- коэффициенты Ламе (обращающиеся в нуль в жидкой фазе),
- тензор конечных деформаций,
.

Эволюция тензора деформаций определяется полем скорости в соответствии с уравнением

Страница обновлена 07-Dec-2007